Universität Klagenfurt
Abteilung Didaktik der Mathematik
Dr. Günther Ossimitz
Arbeitsbereich "Didaktik der Systemdynamik"


Das Lehrplankapitel
"Untersuchung vernetzter Systeme" in verschiedenen österreichischen Mathematik-Schulbüchern

Werner Augustin, Petra Ischep
Hermelinde Droneberger (HTML-Umsetzung)



Im Rahmen der Lehrveranstaltung "Ausgewählte Kapitel der Schulmathematik" am Institut für Mathematik, Statistik und Didaktik der Mathematik an der Universität Klagenfurt haben wir verschiedene österreichische Schulbücher der 7. Klasse des Realgymnasiums daraufhin untersucht, wie diese das Thema "vernetzte Systeme" aufbereitet haben. Dazu ist ein einheitlicher Fragenkatalog vorteilhaft, den wir am Beginn unserer Betrachtung anführen werden. Dieser ist nicht nur auf Schulbücher anwendbar, sondern kann auch zur Untersuchung anderer Schriften zu diesem Thema verwendete werden.

Inhalt dieses Dokuments:

  1. Das Lehrplankapitel "Untersuchung vernetzter Systeme" in den untersuchten Schulbüchern
  2. Fragenkatalog
  3. Analyse der Schulbücher:

  4. Schlußbetrachtung

Anhang: Beispiele und Auszüge aus den Schulbüchern:(in externen Dateien gespeichert):
1. Das Lehrplankapitel "Untersuchung vernetzter Systeme" in den untersuchten Schulbüchern

a.) Reichel H.-C./ Müller R./ Hanisch G./ Laub J.,
Die Beschreibung dynamischer Systeme und Prozesse wird in diesem Lehrbuch der Mathematik für die 7. Klasse AHS im Kapitel Nummer 6 beschrieben. Der Lehrstoff ist als Pflichtsoff gekennzeichnet und umfaßt 26 Seiten. Der Abschnitt ist in 5 Abschnitten unterteilt (Vorschau, Differenzengleichungen 1. Ordnung mit einer Variablen, Komplexe Prozesse Systeme von Differenzengleichungen, Differenzengleichungen 2. Ordnung mit einer Variablen und Rückblick und Ausblick). Die Modelle beziehen sich hauptsächlich auf die Bereiche Biologie (z.B.: Populationswachstum) und Wirtschaft.

b.) Bürger H./Fischer R./Malle G./Kronfellner M./Mühlgassner T./Schlöglhofer F.,
Den Grundlagen der Systemdynamik wird in diesem Schulbuch für die 7. Klasse der AHS das Kapitel Nummer 11, von insgesamt 13, unter dem Titel „Vernetzte Systeme“ gewidmet. Der Lehrstoff wird gekennzeichnet als Pflichtstoff für Realgymnasien und Oberstufenrealgymnasien mit Darstellender Geometrie oder ergänzendem Unterricht in Biologie und Umweltkunde, Physik sowie Chemie. Für alle übrigen Schulformen fällt dieses Kapitel unter das Stichwort „Erweiterungsstoff“.
Der gesamte Abschnitt umfaßt 23 Seiten (S. 285 - S. 307) und gliedert sich in vier Unterkapitel, wobei sich die ersten beiden auf die Darstellungsformen der Systemdynamik beziehen und die zwei folgenden weitere Modelle aus dem Bereich Ökologie, Biologie und Bevölkerung beinhalten.

c.) Novak J. / Bolhar-Nordenkampf A. / Schalk H.-C. / Stemmer S.
„Untersuchung vernetzter Systeme“ lautet das vorletzte Kapitel des dritten Bandes dieses Schulbuchs. Systemtheoretische Grundlagen werden den Schülern auf 9 Seiten (S.156 - S.173) vermittelt. Der Abschnitt gliedert sich in zwei Unterkapitel, wobei sich das erste mit der Erklärung des Begriffs „System“ befaßt und das zweite mit der Systemanalyse, d.h. also mit den unterschiedlichen Darstellungsformen zur Beschreibung eines Systems.


2. Fragenkatalog

Um die Schulbücher einheitlich zu analysieren, haben wir zunächst eine Art "Fragebogen" entwickelt, den wir dann bei der Analyse aller Bücher angewandt haben. Dieser Katalog wird nun hier vorgestellt. Bei der Zusammenstellung der Fragen haben wir darauf geachtet, daß wir zuerst ganz allgemein gegonnen haben und dann immer mehr ins Detail vorgestoßen sind. So kann der Leser hier auch einen Einblick in verschiedene Aspekte der Systemdynamik gewinnen.

Allgemein Fragen:

1.) Wird der Begriff „systemisches Denken“ erklärt?
Diese Frage richtet sich auf das Ziel der Systemdynamik. Man soll Beziehungen zwischen verschiedenen Komponenten herstellen, die sich gegenseitig beeinflussen. Dabei soll durch Analyse von solchen Systemen vernetztes Denken, also das Erfassen von komplexeren Zusammenhängen, geschult werden, das heute immer öfter notwendig wird. Man versucht dabei, Modelle der Welt herzustellen, deren Zusammenhänge mathematisch ausgedrückt werden können.

2.) Wird aufgezeigt, wo „Systemisches Denken“ angewandt werden kann?
Systemisches Denken lockert die Grenzen zwischen Schulfächern und Wissenschaftsdisziplinen auf. Es eignet sich daher gut zu fächerübergreifendem Unterricht. Wird im Schulbuch daraufhingewiesen? In der Systemdynamik ist die Mathematik nur das Werkzeug, es geht mehr um die betrachtete Sache. Wird im Schulbuch daher auch auf den starken Bezug zur realen Welt hingewiesen, der sonst von Schülern an der Mathematik so stark kritisiert wird?

Zu den Darstellungsformen:

3.) Wird auf die Vielfalt systemdynamischer Darstellungsformen hingewiesen?
Werden alle Möglichkeiten der Dartellungsformen in der Systemdynamik genannt und behandelt, oder beschränkt man sich auf einige bestimmte? Die verschiedenen Darstellungsformen sind (falls noch nicht bekannt):
4.) Wie werden die einzelnen Darstellungsmöglichkeiten abgehandelt?
Werden sie ganz kurz oder sehr ausführlich behandelt? Wird die Wichtigkeit einer Darstellungsart betont? Werden ausreichend Beispiele zu den verschiedenen Möglichkeiten gebracht? Wird die Vorgangsweise bei den Darstellungsarten genau erklärt oder ist dies verschwommen?

5.) Werden gute Einführungsbeispiele gebracht?
Sind die dargestellten Abhängigkeiten zwischen den verschiedenen Komponenten klar ersichtlich oder könnten sie für den Schüler oder auch einen anderen Betrachter unverständlich sein? Können diese Beispiele den Schüler motivieren oder sind sie zu weltfremd gewählt? Wird in diesem Zusammenhang auch darauf hingewiesen, daß man jedes System auch noch verfeinern kann?

6.) Zu Flußdiagrammen: Werden die verschiedenen Elementtypen, die dort auftreten, genau erklärt?
Wird der Unterschied zwischen Bestandsgrößen, Flußgrößen, Bewegungsgrößen und Hilfsgrößen herausgearbeitet? Werden auch Einflüsse aus der „Außenwelt“ berücksichtigt? Da die Terminologie sowohl im Deutschen als auch im Englischen nicht einheitlich ist, solllte man bei der Betrachtung der Schulbücher beachten, ob darauf hingewiesen wird oder ob mehrere Namen für die verschiedenen Größen angeführt werden (Bsp. Flußgröße=Änderungsrate, Bestandsgröße=Zustandsgröße,...)? Daraus ergibt sich die Frage, ob durch diese Darstellung im Buch der Schüler (oder Leser) eher verwirrt wird, oder ob dieser Hinweis gut gelungen ist?

7.) Wird auf den Computereinsatz verwiesen?
Wird im Schulbuchkapitel daraufhingewiesen, daß das formelmäßige und rechnerische Beschreiben durch Differenzengleichungen mit den Computer stark erleichtert werden könnte, daß Verständnis vom Modell aber trotzdem vorhanden sein muß? Werden verschiedene Softwareprodukte genannt, mit denen systemdynamisches Modellieren möglich ist? Wie genau wird der Computereinsatz behandelt? Wird ein Grundschema der numerischen Simulation eines Systems bei Softwareprodukten angeführt oder werden sogar einzelne Programme genauer behandelt?

8.) Werden genügend Beispiele angeführt?
Sind die Beispiele zum Verständnis von Systemdynamik ausreichend oder sind es zuwenig? Werden genügend Beispiele für eigenständige Modellierung angeführt? Wie gut sind diese Beispiele für Schüler geeignet? Können sie durch ihr Wissen die zusammenhänge schon erkennen oder sind sie zu schwer?

Analyse der gebildeten Modelle

9.) Wird auf Schwierigkeiten bei der Erstellung von Modellen hingewiesen?
Es gibt meist nicht nur eine Ursache für Änderungen einer Größe. Wird daher durch den Autor des Kapitels darauf hingewiesen, daß ein vollständiges Modell unmöglich ist, und man sich nur auf das Wesentliche konzentrieren soll?

10.) Welche Möglichkeiten der Analyse werden angeführt?
Bei dieser Frage beziehen wir uns auf die Möglichkeiten von Tabellenkalkulationssytemen, Taschenrechnern und der Simulationssoftware. Wird bei der Analyse auf Vorteil des Computers hingewiesen? Ohne Computer kann ein Modell schnell alle Grenzen sprengen. Bei 10-20 Elementen tritt bei händischem Rechnen oder mit dem Taschenrechner schon das Chaos ein. Der Computer ist nicht unbedingt notwendig, stellt aber eine große Hilfe dar.

Fragen zur Didaktik

11.) Wird Systemdynamik im Sinne der offenen Mathematik verstanden?
Mathematik wird in diesem Bereich ganz wesentlich als Darstellungs- und Kommunikationsmittel eingesetzt. An die Stelle geschlossener Problemdarstellungen und Lösungen treten offene Verfahren, die bei Behandlung dynamischer Systeme flexibler sind als mathematisch geschlossene Lösungen.
(vgl. Fischer 1984, Offene Mathematik und Visualisierung , Math. did.) Mathematik tritt in der Systemdynamik stärker mit anderen Fächern in Verbindung. Wird auf all diese Elemente durch den Autor eingegangen?

12.) Wird auf die Möglichkeit des Projektunterrichts eingegangen?
Systemdynamik eignet sich sehr gut für den Projektunterricht, schon wegen ihres fächerübergreifenden Charakters.

13.) Geht das Buch eher in Richtung quantitativ orientierter Systemdynamikunterricht, oder wird qualitativ orientierter Systemdynamikunterricht forciert?
Bei der quantitativen Orientierung stellt die numerische Simulation den Schwerpunkt dar.
Die qualitative Richtung sieht ihren Schwerpunkt im gründlichen Verständnis des Aufbaus von Systemen.

14.) FWird bei der Analyse der Modelle auch die Eigenständigkeit der Schüler?
Wird manchmal die Aufgabe gestellt, ein Modell zu erklären oder konzentriert das Kapitel sich wieder nur auf Rechenbeispiele? Die Aufgaben sollten manchmal vielleicht nur den Charakter eines Berichtes haben.

15.) Wird auf die Entwicklungsgeschichte der Systemdynamik eingegangen?

16.) Wird auf Literatur zum Thema hingewiesen?



3. Analyse der Schulbücher


1.) Wird der Begriff „systemisches Denken“ erklärt?

Reichel H.-C./ Müller R./ Hanisch G./ Laub J., Lehrbuch der Mathematik 7
In diesem Buch beginnt das Kapitel über dynamische Systeme mit einer kleinen Vorschau. Darin wird der Begriff Systemdynamik unserer Meinung nach gut erklärt und anhand eines einfachen und motivierenden Beispiels dem Leser näher gebracht. In diesem Buch wird sogar, die Herkunft und Bedeutung der Wörter „dynamisch“ und „System“ näher erläutert.

Bürger H./ Fischer R./ Malle G./ Kronfellner M./ Mühlgassner T./ Schlöglhofer F., Mathematik. Oberstufe 3
Der Begriff „systemisches Denken“ wird in diesem Lehrbuch nicht erwähnt. Wohl aber wird in zwei Sätzen erklärt, was vernetzte Systeme sind. Fraglich ist allerdings, ob die Schüler eine erste Vorstellung von vernetzten Systemen bekommen, noch bevor sie zu den verschiedenen Darstellungsformen und Übungsbeispielen übergehen. Unserer Meinung nach darf hier eine umfassendere Einführung und Erläuterung in die Systemdynamik durch eine Lehrkraft nicht ausbleiben.

Novak J. / Bolhar-Nordenkampf A. / Schalk H.-C. / Stemmer S.
Auch in diesem Lehrbuch wird nicht verdeutlicht, was „systemisches Denken“ ist. Der Erklärung des Begriffs „System“ werden jedoch zwei Seiten gewidmet. Liest man sich den ersten Absatz durch, so mag man zunächst darüber verwundert sein, was die alten Römer mit Systemdynamik zu tun haben. Dennoch scheint mir die Einleitung gelungen zu sein. Das Ziel und das grundlegende Konzept der Systemdynamik wird gut geklärt. Darüberhinaus zeigt die Darstellung des Gleichnisses im Beispiel als Diagramm den Bezug vernetzter Systeme zur realen Welt. Auf Seite 165 findet sich am rechten unteren Rand sogar eine Definition des Begriffs System. Es wird an einem Beispiel auch erklärt, daß ein System Grenzen haben muß und was in diesem Zusammenhang „dynamisch“ bedeutet. Ich glaube, daß die Schüler nach Durcharbeitung des ersten Abschnitts in etwa wissen, was vernetzte Systeme sind.




2.) Wird aufgezeigt, wo „Systemisches Denken“ angewandt werden kann?

Reichel H.-C./ Müller R./ Hanisch G./ Laub J., Lehrbuch der Mathematik 7
Das Buch verweist auch auf den Umstand, daß dynamische Systeme überall in der Realität auftreten und stellt kurz, unserer Meinung nach zu kurz, einen Zusammenhang mit anderen Fächern her. Der Schüler wird nicht extra motiviert, vielleicht Bezüge mit anderen Gegenständen herzustellen oder sogar fächerübergreifende Fragen zu stellen.
Es wird also in diesem Buch sehr wohl der Eindruck erweckt, daß die Mathematik in diesem Gebiet einen großen Bezug zur Realität hat, was man nicht immer von ihr behaupten kann. Dies ist auch oft ein Kritikpunkt der Schüler an der Mathematik. Die Autoren weisen auch auf die Komplexität von dynamischen Systemen hin, denn man ist meist nicht in der Lage alle Einflüsse, die auf ein System einwirken können, zu kennen. Ein dynamisches System kann jedoch beliebig verfeinert werden, indem man immer mehr Einflüsse auf das System einwirken läßt. Auf Verfeinerungen wird in diesem Buch jedoch nicht eingegangen.
Der Realitätsbezug im Buch von Reichel-Müller-Hanisch-Laub wird aber gleich nach der Vorschau wieder zur Seite geschoben, und man beschränkt sich auf die Betrachtung der Mathematik als Werkzeug innerhalb der Systemdynamik. Es kommen zwar schon noch Beispiele vor, die Bezug zur wirklichen Welt haben und auch aus verschiedenen Bereichen der Wirklichkeit stammen, aber das Hauptaugenmerk wird auf die mathematischen Probleme gelenkt.

Bürger H./ Fischer R./ Malle G./ Kronfellner M./ Mühlgassner T./ Schlöglhofer F., Mathematik. Oberstufe 3
In diesem Lehrbuch wird nicht explizit angegeben, wo systemisches Denken bzw. die Systemdynamik in unserer Umwelt angewandt werden kann. Dies ist natürlich ein Kritikpunkt, denn der Schüler kann oft die Sinnhaftigkeit dieses Kapitels nicht erkennen. Auf die Möglichkeit eines fächerübergreifenden Unterricht wird in diesem Lehrbuch nicht hingewiesen. Der Bezug zur realen Welt, d.h. der Einsatz der Systemdynamik in anderen Wissenschaftsdisziplinen geht nicht sehr gut hervor. Nur wenige Übungsaufgaben am Ende eines jeden Unterkapitels behandeln andere Bereiche (z.B.: aus den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften, Bsp.: 11.11, 11.14, 11.20, 11.22 und aus dem Bereich Ökologie und Biologie, Bsp.: 11.16), schließlich Populationsmodelle und Räuber-Beute Modelle mit eventuellen Erweiterungen.

Novak J. / Bolhar-Nordenkampf A. / Schalk H.-C. / Stemmer S.
Im Schulbuch wird darauf hingewiesen, daß unsere Welt voll von Systemen ist. In diesem Zusammenhang werden einige Beispiele angeführt. Ein Hinweis auf fächerübergreifenden Unterricht läßt sich jedoch nicht finden.




3.) Wird auf die Vielfalt der Darstellungsformen hingewiesen?

Reichel H.-C./ Müller R./ Hanisch G./ Laub J., Lehrbuch der Mathematik 7
Beispiele werden zuerst anhand von Ursache-Wirkung-Diagrammen dargestellt, aus denen die Beziehungen zwischen den Komponenten graphisch schön erkennbar sind. Auch ein Flußdiagramm ist abgebildet, wird jedoch nicht mehr beim Namen genannt. Verbale Beschreibungen sind eigentlich nur in den Fragen zu finden, bei denen es sich um Darstellungsmöglichkeit der Differenzengleichungssysteme handelt. Aufgaben, ein System innerhalb der Natur mit Worten zu beschreiben, werden überhaupt nicht angeführt. Es scheint so, als ob den Autoren solche Beispiele zu weit abseits der üblichen Mathematik liegen.

Bürger H./ Fischer R./ Malle G./ Kronfellner M./ Mühlgassner T./ Schlöglhofer F., Mathematik. Oberstufe 3
Das Kapitel „Vernetzte Systeme“ beginnt mit den Darstellungsformen der Systemdynamik. Die erste graphische Darstellung ist die Erstellung eines Ursache-Wirkung-Diagramms, auf das unserer Meinung nach sehr gut eingegangen wird. Das Beispiel des Verkehrsproblems ist leicht nachvollziehbar und ohne spezielle Grundkenntnisse erstellbar. Das Diagramm wird schrittweise aufgebaut und ist somit leicht verständlich. Darüberhinaus wird darauf hingewiesen, daß ein Ursache-Wirkungs-Diagramm nur eine Möglichkeit darstellt, Beziehungen und Wechselwirkungen in einem System darzustellen. Die Beziehungen zwischen den betrachteten Größen werden durch Pfeile dargestellt, wobei diese mit „+“ oder „-“ bezeichnet sind. Diese Bezeichnungen werden auch allgemein beschrieben. Auf die Verfeinerung eines Modells wird im Anschluß daran eingegangen, indem auch andere Größen in das zuvor erhaltene System miteinbezieht. Erwähnt wird ebenfalls, daß unterschiedliche Standpunkte zu unterschiedlichen Darstellungen und Ergebnissen führen. Zu den Ursache-Wirkungs-Diagrammen werden die Wechselwirkungen des Systems verbal beschrieben. Dadurch wird der Zusammenhang der beiden qualitativen Modellierstile verdeutlicht. Gleich im Anschluß daran wird auf indirekte Wirkungen und Rückkoppelungen eingegangen, die zunächst wieder am Beispiel der Verkehrsproblematik und danach allgemein erklärt werden.
Die beiden qualitativen Darstellungsformen, d.h. Flußdiagramme und rekursive Gleichungssysteme, werden anhand des Beispiels der Zunahme bzw. Abnahme einer Population erarbeitet. Es wird darauf hingewiesen, daß diese Art von Flußdiagramm von einer anderen Art als die in der Informatik gebräuchliche Form ist und speziell im Hinblick auf die Darstellung von Systemen entwickelt wurde. Beim Flußdiagramm werden die verschiedenartigen Größen und Zusammenhänge schrittweise eingeführt und erklärt. Jeder Elementtyp wird durch eine nebenstehende Abbildung erklärt.- Die verschiedenen Elementtypen, die im Flußdiagramm auftreten, werden in diesem Schulbuch sehr gut dargestellt. Alle Symbole sind in einem rosa Kästchen hervorgehoben und zusammengefaßt. Der Unterschied zwischen den einzelnen Elementtypen wurde sehr deutlich herausgearbeitet, allerdings wird nicht darauf hingewisen, daß in anderen Schulbüchrn oder in weiterführender Literatur möglicherweise andere Bezeichnungen für verschiedene Größen verwendet werden können.
Schließlich gelangt man vom Bevölkerungsmodell zu der Darstellung von Gleichungssystemen.. Dabei werden Rekursionsgleichungen verwendet. Ausgerechnete Beispiele (z.B.: Bevölkerungsmodell) dienen dem besseren Verständnis. Danach geht man zur Vereinfachung des rekursiven Gleichungssystems über. Schließlich erhält man eine (nicht rekursive) Formel zur Beschreibung der Entwicklung einer Population. Da es jedoch nicht immer vorteilhaft ist, ein Flußdiagramm oder ein rekursives Gleichungssystem durch Zusammenfassen von Größen oder durch Einsetzen zu reduzieren oder zu einer nicht rekursiven Formel überzugehen, werden Vorteile dafür angeführt, mit rekursiven Gleichungen zu rechnen.

Novak J. / Bolhar-Nordenkampf A. / Schalk H.-C. / Stemmer S.
„Systemanalyse“ lautet der Titel des zweiten Unterkapitels, das sich mit der Vielfalt der Darstellungsformen befaßt. In diesem Schulbuch werden Systemmodelle von verbalen Beschreibungen bis hin zu numerisch simulierbaren Gleichungssystemen erarbeitet.




4.) Wie werden die einzelnen Darstellungsmöglichkeiten abgehandelt?

Reichel H.-C./ Müller R./ Hanisch G./ Laub J., Lehrbuch der Mathematik 7
Das Kapitel „Mathematische Beschreibung dynamischer Systeme und Prozesse“ beschränkt sich bei Reichel-Müller-Hanisch-Laub eigentlich auf die Differenzengleichungssyteme unterteilt in: Differenzengleichungen 1. Ordnung mit einer Variablen, Systeme von Differenzengleichungen und Differenzengleichungen 2. Ordnung in einer Variablen. Eine Querdifferenzierung läßt sich auch noch im Unterschied von linearen und nicht-linearen Differenzengleichungen feststellen.
Die Ursache-Wirkungsdiagramme treten nach der Vorschau überhaupt nicht mehr auf. Keine Aufgabe in diesem Buch hat ein solches Diagramm zum Ziel. Unserer Meinung nach sollte gerade solche Darstellungsformen gefördert werden, damit der Schüler das Denken in Systemen erlernt, auch wenn dabei die Mathematik selbst etwas in den Hintergrund tritt. Da diese Diagramme nun gar nicht behandelt werden, erklärt der Autor natürlich auch nicht die Bedeutung von Pfeilen, „+“ und „-“, geschweige denn die Arten der verschiedenen Rückkopplungskreise. Im Vergleich mit dem Buch von Bürger-Fischer-Malle schneiden Reichel-Müller-Hanisch-Laub in dieser Beziehung sehr schlecht ab.
Mit den Flußdiagrammen verhält es sich nicht anders. Reichel-Müller-Hanisch-Laub nennen diese Darstellungsmöglichkeit nicht einmal, während das Buch von Bürger-Fischer-Malle sich auch dieser Darstellungsform ausreichend widmet, obwohl es viel weniger Seiten zur Abhandlung des Themas benötigt. Doch dem Schulbuch Bürger H./ Fischer R./ Malle G./ Kronfellner M./ Mühlgassner T./ Schlöglhofer F., Mathematik. Oberstufe 3 wollen wir uns später noch genauer widmen. Wegen der Nichtbehandlung der Flußdiagramme, werden logischerweise auch die verschiedenen Typen der Elemente in solchen Diagrammen, wie zum Beipiel Bestandsgrößen, Flußgrößen oder Bewegungsgrößen, nicht angeführt oder erklärt.
Durch das Weglassen der anderen Darstellungsmöglichkeiten geht meiner Meinung nach die Motivation sehr schnell verloren, da der Bezug zur Realität sich wieder auf ein Minimum beschränkt, und die Mathematik und ihre verschiedenen Spielarten wieder ganz in den Vordergrund treten. Auch der Bezug zu anderen Fächern verebbt sofort nach der Vorschau wieder zur mathematischen Formel- und Aufgabensammlung.
Da die restlichen Darstellungsmöglichkeiten bei Reichel-Müller-Hanisch-Laub ignoriert werden, wenden wir uns nun genauer der Möglichkeit der Differenzengleichungssysteme zu, das für dieses Autorenteam die größte Wichtigkeit zu haben scheint.
Die Differenzengleichungssysteme werden nun naturgemäß sehr genau und ausführlich behandelt, unterteilt in die oben angeführten Teilgebiete. Die Vorgangsweise wird meiner Meinung nach für eine 7. Klasse ausreichend erklärt, obwohl sich die Autoren für meinen Geschmack etwas zu umständlich und für Schüler schwer verständlich ausdrücken.

Bürger H./ Fischer R./ Malle G./ Kronfellner M./ Mühlgassner T./ Schlöglhofer F., Mathematik. Oberstufe 3
Das Kapitel „Vernetzte Systeme“ beginnt mit den Darstellungsformen der Systemdynamik. Die erste graphische Darstellung ist die Erstellung eines Ursache-Wirkung-Diagramms, auf das unserer Meinung nach sehr gut eingegangen wird. Das Beispiel des Verkehrsproblems ist leicht nachvollziehbar und ohne spezielle Grundkenntnisse erstellbar. Das Diagramm wird schrittweise aufgebaut und ist somit leicht verständlich. Darüberhinaus wird darauf hingewiesen, daß ein Ursache-Wirkungs-Diagramm nur eine Möglichkeit darstellt, Beziehungen und Wechselwirkungen in einem System darzustellen. Die Beziehungen zwischen den betrachteten Größen werden durch Pfeile dargestellt, wobei diese mit „+“ oder „-“ bezeichnet werden.. Diese Bezeichnungen werden auch allgemein beschrieben. Auf die Verfeinerung eines Modells wird gleich im Anschluß daran eingegangen, indem man auch andere Größen in das zuvor erhaltene System miteinbezieht. Erwähnt wird ebenfalls, daß unterschiedliche Standpunkte zu unterschiedlichen Darstellungen und Ergebnissen führen. Zu den Ursache-Wirkungs-Diagrammen werden die Wechselwirkungen des Systems verbal beschrieben. Dadurch wird der Zusammenhang der beiden qualitativen Modellierstile verdeutlicht. Gleich im Anschluß daran wird auf indirekte Wirkungen und Rückkoppelungen eingegangen, die zunächst wieder am Beispiel der Verkehrsproblematik und danach allgemein erklärt werden.
Die beiden qualitativen Darstellungsformen, d.h. Flußdiagramme und rekursive Gleichungssysteme, werden anhand des Beispiels der Zunahme bzw. Abnahme einer Population erarbeitet. Es wird darauf hingewiesen, daß diese Art von Flußdiagramm von einer anderen Art als die in der Informatik gebräuchliche Form ist und speziell im Hinblick auf die Darstellung von Systemen entwickelt wurde. Beim Flußdiagramm werden die verschiedenartigen Größen und Zusammenhänge schrittweise eingeführt und erklärt. Jeder Elementtyp wird durch nebenstehende Abbildung erklärt. Die verschiedenen Elementtypen, die im Flußdiagramm auftreten, werden in diesem Schulbuch sehr gut dargestellt. Alle Symbole sind in einem rosa Kästchen hervorgehoben und zusammengefaßt. Der Unterschied zwischen den einzelnen Elementtypen wurde sehr deutlich herausgearbeitet, allerdings wird nicht darauf hingewisen, daß in anderen Schulbüchrn oder in weiterführender Literatur möglicherweise andere Bezeichnungen für verschiedene Größen verwendet werden können.
Schließlich gelangt man vom gewonnenen Bevölkerungsmodell zu deren Darstellung in Gleichungsform. Dabei werden Rekursionsgleichungen verwendet. Ausgerechnete Beispiele (z.B.:Bevölkerungsmodell) dienen dem besseren Verständnis. Danach geht man zur Vereinfachung des rekursiven Gleichungssystems über. Schließlich erhält man eine (nicht rekursive) Formel zur Beschreibung der Entwicklung einer Population. Da es jedoch nicht immer vorteilhaft ist, ein Flußdiagramm oder ein rekursives Gleichungssystem durch Zusammenfassen von Größen oder durch Einsetzen zu reduzieren oder zu einer nicht rekursiven Formel überzugehen, werden Vorteile dafür angeführt, mit rekursiven Gleichungen zu rechnen.

Novak J. / Bolhar-Nordenkampf A. / Schalk H.-C. / Stemmer S.
Zuerst wird mit der Beschreibung der Erstellung eines allgemeinen verbalen Systemmodells (oder Wortmodells) begonnen. Die Wichtigkeit dieses qualitativen Modellierstils geht sehr deutlich hervor. Sehr gut finden wir den Hinweis, daß nur die Einbeziehung verschiedener Standpunkte ein gutes und realistisches Modell möglich macht. In diesem Zusammenhang können die seitlich angeführten Diskussionspunkte sehr hilfreich sein. Motivierend ist für schlechtere Mathematik-Schüler sicher, daß Wortmodelle in der Systemdynamik sehr wichtig sind und nun endlich auch sprachlich begabte Schüler im Mathematikunterricht dominieren. Anschließend werden zwei Beispiele für Wortmodelle angeführt. Unserer Meinung nach ist nicht ganz klar, was unter Wortmodellen verstanden wird. In den Beispielen für verbale Systemmodelle werden die Begriffe eskalierende und stabilisierende Rückkoppelung verwendet, die weder genau erklärt werden, noch im Text hervorgehoben sind und deren Bedeutung in Verbindung zur Systemdynamik nicht deutlich erkennbar ist.
Im folgenden werden kurz Wirkungsdiagramme behandelt. Nach der knappen Einführung in die Erstellung solcher Diagramme, wird ein allgemeines (!) Modell dazu erstellt. Die Vielzahl der Pfeile und Verbindungslinien verwirrt schon beim Hinsehen und die Bedeutung der einzelnen Pfeile ist völlig undurchschaubar. Darüberhinaus wird nie erklärt, was unter „Struktur“ oder „Element“ verstanden wird. Im nachfolgenden Beispiel, das übrigens nur jenes aus dem vorhergehenden Abschnitt der Wortmodelle wieder aufgreift, tauchen wieder Rückkoppelungen auf, deren Bewandtnis nun natürlich schon als bekannt vorausgesetzt wird. Noch immer ist unserer Meinung nach undeutlich, was damit eigentlich gemeint ist. Eine Neuerung ist die Bewertung der Pfeile im Diagramm mit „+“ oder „-“. Woher diese allerdings kommen, wird nicht erwähnt. Spätestens an diesem Punkt ist es Schülern unmöglich, den Autoren zu folgen und ein eigenständiges Wirkungsdiagramm zu erstellen.
Der nächste Abschnitt behandelt Flußdiagramme. Die verschiedenen Elementtypen, die in diesem qualitativen Modellierstil auftreten, werden aufgelistet und beschrieben. Die Unterschiede der in der Auflistung vorhandenen Elementtypen werden herausgearbeitet und mit Beispielen untermauert. Nebenstehend sind die jeweiligen Symbole angeführt. Ebenso wird angeführt, daß mehrere Namen oder Bezeichnungen für die verschiedenen Größen existieren. Zur Erklärung der Größen im Flußdiagramm, wir ein schon bekanntes Beispiel herangezogen. In diesem Schulbuch ist nicht ersichtlich, wie man Flußdiagramme erstellt und das hierbei die einzelnen Modellelemente zahlenmäßig quantifizierte Größen sind. Völlig unnötig wirkt die Erklärung unter der Abbildung (S. 171) zum besseren Verständnis des Flußdiagramms.
Dasselbe gilt für die Darstellung in Gleichungsform. So findet sich in diesem Lehrbuch eine Bestandsgleichung und eine Flußgleichung, deren Unterschied nicht erklärt wird und die nur zur Einführung der Programmiersprache BASIC erwähnt werden.




5.) Werden gute Einführungsbeispiele gebracht?

Reichel H.-C./ Müller R./ Hanisch G./ Laub J., Lehrbuch der Mathematik 7
Das Einführungsbeispiel, das den Nikotingehalt im Blut zum Thema hat, finden wir als Idee sehr ansprechend und ist auch nicht schwer verständlich. Auch die indirekten Hinweise innerhalb des Beispiels auf die Schädlichkeit des Rauchens empfinden wir für eine 7. Klasse als pädagogisch wertvoll. Natürlich wird deswegen wohl kaum ein Schüler aufhören mit dem Rauchen, vielleicht macht er sich aber wenigstens Gedanken darüber. Zur Motivation scheint uns diese Aufgabe auch gut geeignet.
Das Beispiel versucht nun, eine Differenzengleichung durch eine Rekursionsgleichung zu erklären. Dabei geht es uns jedoch zu rasch für eine Einführung auf die abstrakte Bestimmung von Grenzwerten ein. Ein Schüler sollte vielleicht zuerst einige einfache Differenzengleichungen aufstellen können. Danach wird versucht, diese Differenzengleichung graphisch aufzulösen, was man nur gut heißen kann.
In einem späteren Beispiel zur formelmäßigen Ermittlung des Langzeitverhaltens eines dynamischen Systems führen die Autoren Zustandsvektoren und Übergangsmatrizen ein, was uns zu diesem Thema völlig fehl am Platze scheint. Das Vektoren und Matrizen auch eine arithmetische und nicht nur eine geometrische Bedeutung haben, sollte doch schon ein bis zwei Jahre früher in anderen Kapiteln herausgearbeitet worden sein.
Das Einführungsbeispiel zu Differenzengleichungen 2. Ordnung mit einer Variablen ist völlig weltfremd und stellt nur eine Sammlung von Beweisaufgaben dar. Wie man sich nun konkreten Aufgaben dieser Form nähert, wird nicht beschrieben.

Bürger H./ Fischer R./ Malle G./ Kronfellner M./ Mühlgassner T./ Schlöglhofer F., Mathematik. Oberstufe 3
Wir glauben, daß die Übungsbeispiele für Schüler leicht verständlich und nachvollziehbar sind. Größtenteils behandeln die Aufgaben Beispiele zur Verkehrsproblematik und zum Bevölkerungswachstun. Diese Modelle eignen sich gut, weil keine Spezialkenntnisse notwendig sind und die Grundstrukturen des Modellbildens lassen sich an diesen Themen leicht nachvollziehen. Die vorgefertigten Modelle können beliebig verfeinert werden. Die Beispiele zum grundlegenden Verständnis der Systemdynamik sind unserer Meinung nach ausreichend. Fertige Modelle dienen zusätzlich dem leichteren Verständnis. Darüberhinaus können die Schüler bald selbst mit der Simulation am Computer beginnen und konzentrieren sich somit mehr auf die Variation von Parametern und der Interpretation der Ergebnisse.

Novak J. / Bolhar-Nordenkampf A. / Schalk H.-C. / Stemmer S.
Es gibt nur ein einziges Einführungsbeispiel nämlich ein einfaches Bevölkerungsmodell, welches die Schüler von Beginn des Kapitels bis zum Ende hin verfolgt. Dadurch stellt sich natürlich auch die Frage nach den unterschiedlichen Komplexitätsstufen eines Modells nicht. Motivierend wirken die Beispiele auf die Schüler wahrscheinlich nicht.




6.) Zu Flußdiagrammen: Werden die verschiedenen Elementtypen, die dort auftreten, genau erklärt?

Reichel H.-C./ Müller R./ Hanisch G./ Laub J., Lehrbuch der Mathematik 7
Flußdiagramme werden in diesem Lehrbuch nicht behandelt.

Bürger H./ Fischer R./ Malle G./ Kronfellner M./ Mühlgassner T./ Schlöglhofer F., Mathematik. Oberstufe 3
Beim Flußdiagramm werden die verschiedenartigen Größen und Zusammenhänge schrittweise eingeführt und erklärt. Jeder Elementtyp wird durch nebenstehende Abbildung verdeutlicht. Die verschiedenen Elementtypen, die im Flußdiagramm auftreten, werden in diesem Schulbuch sehr gut dargestellt. Alle Symbole sind in einem rosa Kästchen hervorgehoben und zusammengefaßt. Der Unterschied zwischen den einzelnen Elementtypen wurde sehr deutlich herausgearbeitet, allerdings wird nicht darauf hingewiesen, daß in anderen Schulbüchrn oder in weiterführender Literatur möglicherweise andere Bezeichnungen für verschiedene Größen verwendet werden können.

Novak J. / Bolhar-Nordenkampf A. / Schalk H.-C. / Stemmer S.
Die verschiedenen Elementtypen bei den Flußdiagrammen, die in diesem qualitativen Modellierstil auftreten, werden aufgelistet und beschrieben. Die Unterschiede der in der Auflistung vorhandenen Elementtypen werden herausgearbeitet und mit Beispielen untermauert. Nebenstehend sind die jeweiligen Symbole angeführt. Ebenso wird angeführt, daß mehrere Namen oder Bezeichnungen für die verschiedenen Größen existieren. Das Beispiel, welches zur Erklärung der Größen im Flußdiagramm dient, ist ein bekanntes Beispiel aus dem Abschnitt der Wortmodelle. In diesem Schulbuch ist nicht ersichtlich, wie man Flußdiagramme aufstellt werden.




7.) Wird auf den Computereinsatz verwiesen?

Reichel H.-C./ Müller R./ Hanisch G./ Laub J., Lehrbuch der Mathematik 7
Der Computereinsatz wird in diesem Buch von Reichel-Müller-Hanisch-Laub fast völlig beiseite gelassen. Die einzigen Beipiele die sich finden lassen, sind Aufgaben zur Implementierung der Differenzengleichungssysteme in den Programmiersprachen Turbo-Pascal und Basic. Diese Beispiele haben eher den Sinn, die Beherrschung der Programmiersprache zu testen und nicht als Unterstützung von Simulation dynamischer Systeme.
Die Autoren nennen auch keine Softwareprodukte, mit denen solche Systeme besser bearbeitet werden können. Auf Seite 221 gibt es nur einmal den Hinweis auf eine Begleitdiskette zum Buch, mit deren Hilfe die Multiplikation einer Matrix mit sich selbst stark erleichtert wird, jedoch hat dieser Hinweis auf den Computer wenig mit der Systemdynamik zu tun.

Bürger H./ Fischer R./ Malle G./ Kronfellner M./ Mühlgassner T./ Schlöglhofer F., Mathematik. Oberstufe 3
Es wird in diesem Buch erklärt, was man unter dem Begriff „ Simulation“ versteht. An dieser Stelle wird zum ersten Mal auf die Möglichkeit des Computereinsatzes verwiesen, um ein Modell mehrmals mit verschiedenen Paramterwerten durchzurechnen und um zu sehen, wie sich diese Veränderungen auf die Entwicklung des Systems auswirken. Es wird darauf hingewiesen, daß das rechnerische Beschreiben durch Differenzengleichungen mit dem PC stark erleichtert wird. Die Wahl der Softwareprodukte wird offengelassen, d.h. es wird keine spezielle Software genannt, mit der die Übungsbeispiele gelöst werden sollen. Fertige Beispiele oder ein Grundschema der numerischen Simulation eines Systems werden nicht angeführt. Allerdings ist zu diesem Lehrbuch eine Diskette mit den Lösungen zu den Übungsbeispielen erhältlich, die alle Modelle des Kapitels „Vernetzte Systeme“ für SUPERCALC und WORKS enthält.

Novak J. / Bolhar-Nordenkampf A. / Schalk H.-C. / Stemmer S.
Auf die Möglichkeit des Computereinsatzes wird bereits bei der Erklärung der Flußdiagramme verwiesen. Hier wird erwähnt, daß sich für die numerische Simulation am Computer ohnehin nur Differenzengleichungen eignen, weshalb man sich auf diese beschränkt. Verschiedene Softwareprodukte zur systemdynamischen Modellierung werden nicht genannt. Als Programmiersprache wird hier nur BASIC angeführt. Zwei Grundschemata der numerischen Simulation werden aufgezeigt, wobei man hier den Eindruck hat, daß es sich dabei mehr um die Kenntnis der Programmiersprache dreht, als um das Analysieren und Interpretieren von Systemmodellen. Man fragt sich, warum überhaupt auf den Einsatz eines Computers verwiesen wird. Immerhin gibt es im gesamten Kapitel nur eine einzige Aufgabe, bei der man Parameter und Anfangsgrößen variieren soll (Bsp.: 22). Zweck des Einsatzes des PC soll es doch sein, die Veränderungen eines Systems bei gleichzeitiger Variation der Parameter zu beobachten und die Ergebnisse zu interpretieren. Dies jedoch wird von den Autoren ganz sicher nicht gefördert.




8.) Werden genügend Beispiele angeführt?

Reichel H.-C./ Müller R./ Hanisch G./ Laub J., Lehrbuch der Mathematik 7
Es gibt zu verbalen Beschreibungen, Ursache-Wirkungsdiagrammen und Flußdiagrammen keine Beispiele in diesem Buch von Reicherl-Müller-Hanisch-Laub. Darum gibt es auch keine Aufgaben zur eigenständigen Modellierung von Systemen, da diese zuerst in solchen Diagrammen sichtbar gemacht werden müßten. Zum Thema Differenzengleichungen hingegen gibt es genügend. Jedoch bestehen diese Beispiele meist nur aus zwei Größen: eine Bestandsgröße und eine Veränderungsgröße. Dies stellt für mich aber kein dynamisches System dar, sondern nur eine Abhängigkeit einer Größe von einer anderen und deren Veränderung im Lauf der Zeit. Darum sind wir der Meinung, daß ein Schüler nach dem Durchlernen dieses Buches nicht imstande ist, ein dynamisches System aufzustellen und die verschiedenen Einflüsse untereinander darzustellen. Die selbständige Erarbeitung von Systemen wird im Buch von Reichel-Müller-Hanisch-Laub nicht gefördert. Die mathematischen Zusammenhänge zwischen den beiden Größen jedoch, die in der Differenzengleichung dargestellt werden, werden bis ins Kleinste behandelt. Dies zeigen auch die vielen Aufgaben, die einen Beweis zum Ziel haben. Dabei wäre es genau in diesem Bereich der Mathematik einfach, den Bezug zu anderen Fächern herzustellen.

Bürger H./ Fischer R./ Malle G./ Kronfellner M./ Mühlgassner T./ Schlöglhofer F., Mathematik. Oberstufe 3
Auch wenn der Computereinsatz im Unterricht nicht möglich sein sollte, gibt dieses Schulbuch Schülern grundlegende Einblicke in die Systemdynamik. Dennoch glauben wir nicht, daß die hier präsentierten Übungsbeispiele Schüler motivieren, da sie eigentlich nur die Verkehrsproblematik, Bevölkerungsmodelle und die Zinsrechnung behandeln, werden sie schnell eintönig und uninteressant. Dadurch geht unserer Meinung nach auch der fächerübergreifende Charakter der Systemdynamik ein wenig verloren. In den zwei folgenden Unterkapitel werden systemtheoretische Grundmodelle behandelt, d.h. weitere Modelle zur Populationsentwicklung (Wachstum bei Beschränkung, Wachstum bei Selbstvergiftung) und Räuber-Beute-Modelle, die etwas komplexer sind, als die vorangehenden Beispiele. In diesen beiden Abschnitten sind fast alle Aufgaben komplett durchgerechnet.

Novak J. / Bolhar-Nordenkampf A. / Schalk H.-C. / Stemmer S.
Die Aufgaben sind sicherlich gelungen um allgemein zu verstehen, was unter einem System gemeint ist. Die fünf Beispiele im Anschluß an die Wortmodelle stammen zwar aus verschiedenen Wissenschaftsgebieten, sind aber für Schüler ohne spezielle Vorkenntnisse nicht oder nur schwer lösbar. Hat man sie jedoch einmal gelöst, dann hat man praktisch alle Aufgaben des Kapitels fertig, denn hier haben die Autoren keine große Phantasie bewiesen, handelt es sich doch bei den Übungsaufgaben zu den jeweiligen Darstellungsformen immer um diesselben fünf Beispiele. Es wurde sich nicht einmal die Mühe gemacht,den Text der Aufgaben nochmals anzuführen, sodaß man immer wieder auf Seite 168 zurückblättern muß. Außerdem sind fünf Beispiele zum Verständnis von Systemdynamik sind sicherlich viel zu wenig.




9.) Wird auf Schwierigkeiten bei der Erstellung von Modellen hingewiesen?

Reichel H.-C./ Müller R./ Hanisch G./ Laub J., Lehrbuch der Mathematik 7
Da bei Reichel-Müller-Hanisch-Laub keine größeren Systeme bearbeitet werden, beschränkt sich die Analyse auch auf die Beziehung zwischen den wenigen Elementen. Hier wird jedoch genau auf Grenzwerte und Schranken eingegangen, die durch das Wachstum oder das Absinken der Bestandsgröße unter Einfluß der Bewegungsgrößen erreicht werden können. In den Beispielen werden nur einzelne Größen genannt, die die Bestandsgröße beeinflussen können. Die Frage, ob es nicht vielleicht auch andere Größen gibt, wird gar nicht gestellt. Damit entfällt auch die Frage nach der Komplexität eines Modells.

Bürger H./ Fischer R./ Malle G./ Kronfellner M./ Mühlgassner T./ Schlöglhofer F., Mathematik. Oberstufe 3
keine Angaben

Novak J. / Bolhar-Nordenkampf A. / Schalk H.-C. / Stemmer S.
Keine Angaben




10.) Welche Möglichkeiten der Analyse werden angeführt? (10. Frage fehlt)


11.) Wird Systemdynamik als Teil der offenen Mathematik verstanden?

Reichel H.-C./ Müller R./ Hanisch G./ Laub J., Lehrbuch der Mathematik 7
Auch der Umstand, daß Systemdynamik ein Teil der offenen Mathematik ist, scheint den Autoren entgangen zu sein. Sie stellen die Differenzengleichungen als fixe, unumstößliche Werkzeuge der Systemdynamik dar, ohne das herauskommt, wie flexibel diese einsetzbar sind. Aus dem Buch von Reichel-Müller-Hanisch-Laub geht nicht hervor, daß dieses Werkzeug bei jedem System anders eingesetzt werden kann, daß jedes System seinen ganz eigenen Charakter hat.

Bürger H./ Fischer R./ Malle G./ Kronfellner M./ Mühlgassner T./ Schlöglhofer F., Mathematik. Oberstufe 3
Die Systemdynamik wird bei Bürger/Fischer/Malle/Kronfellner/Mühlgassner/Schlöglhofer sicherlich als Teil der offenen Mathematik verstanden. Die Mathematik tritt hier sehr wohl als Darstellungs- und Kommunikationsmittel auf. Sie ist kein geschlossenenes System von Axiomen, Sätzen oder Beweisen. Im gesamten Kapitel taucht keine einzige Definition oder ein Satz auf. Auch in den Übungsbeispielen wird von den Schülern nie ein Beweis abverlangt.

Novak J. / Bolhar-Nordenkampf A. / Schalk H.-C. / Stemmer S.
In diesem Schulbuch wird Systemdynamik als Teil der offenen Mathematik verstanden. Es werden keine mathematisch geschlossenen Lösungen präsentiert. Die Mathematik wird als Darstellungsmittel eingesetzt und tritt mit anderen Fächern in eine enge Verbindung. Jedoch wird bei Schülern systemisches Denken nicht gefördert. Es entwickeln sich unserer Meinung nach keine allgemeineren Erkenntnisse über systemisches Verhalten, die über die Anwendungsbeispiele hinausgehen.




12.) Wird auf die Möglichkeit des Projektunterrichts eingegangen?

Reichel H.-C./ Müller R./ Hanisch G./ Laub J., Lehrbuch der Mathematik 7
Die Autoren dieses Buches verlieren schon bald den Bezug zu anderen Gegenständen. Darum wird auch nicht die Möglichkeit des Projektunterrichtes in diesem Zweig der Mathematik angesprochen, was unserer Meinung nach den Unterricht sehr wohl beleben könnte.

Bürger H./ Fischer R./ Malle G./ Kronfellner M./ Mühlgassner T./ Schlöglhofer F., Mathematik. Oberstufe 3
Auf die Möglichkeit des Projektunterrichts wird so gut wie gar nicht eingegangen, es wird praktisch nie erwähnt. In den Übungsaufgaben findet sich zweimal der Hinweis zu einem Klein- Projekt (Bsp.: 11.04, 11.16). Blättert man einige Seiten weiter, nämlich zu dem Kapitel Nummer 13 „Beispiele zu projektartigem Unterricht“, so findet sich unter „Einige Anregungen zu weiteren Projekten“ das Stichwort: Vernetzte Systeme. Vorschläge zu Projekten sind jedoch aus Kapitel 11 und der weiterführenden Literatur zu entnehmen.

Novak J. / Bolhar-Nordenkampf A. / Schalk H.-C. / Stemmer S.
Projektorientierter Unterricht wird in diesem Schulbuch bei der Abhandlung der Differenzengleichungen erwähnt. Dort findet man den Hinweis zu dem letzten Kapitel „Projektorientierter Unterricht: Modellrechnung zur Bevölkerung 1991-2030“ zu blättern. Dies ist auch der einzige Vorschlag, der von den Autoren gebracht wird. Motivierend ist das Bevölkerungsmodell für Schüler wahrscheinlich nicht gerade, da die nachfolgenden Tabellen ein wenig abschreckend wirken.




13.) Geht das Buch eher in Richtung quantitativ orientierter Systemdynamikunterricht, oder wird qualitativ orientierter Systemdynamikunterricht forciert?

Reichel H.-C./ Müller R./ Hanisch G./ Laub J., Lehrbuch der Mathematik 7
Dieses Schulbuch bewegt sich in Richtung der quantitativ orientierten Systemdynamik. Dies bedeutet, daß die numerische Simulation den Schwerpunkt in der Darstellung der dynamischen Systeme einnimmt. Das Verständnis vom Aufbau von Systemen (qualitative Orientierung) wird kaum gefördert. Damit wird meiner Meinung nach auch das Ziel der Systemdynamik verfehlt, nämlich das "Erlernen" von vernetztem Denken, Denken in Systemen.

Bürger H./ Fischer R./ Malle G./ Kronfellner M./ Mühlgassner T./ Schlöglhofer F., Mathematik. Oberstufe 3
Verwendet man das Schulbuch Bürger/Fischer/Malle/Kronfellner/Mühlgassner/Schlöglhofer, so wird sowohl quantitativ orientierter als auch qualitativ orientierter Systemdynamikunterricht forciert. Der Schwerpunkt der letzten beiden Unterkapitel liegt jedoch auf der quantiativen Modellierung. Unserer Meinung nach ist es jedoch nicht unbedingt notwendig, auf diese beiden Abschnitte näher einzugehen, da die ersten Unterkapitel bereits systemtheoretische Grundlagen vermitteln. Es hängt also von der Zeit und vom Lernwillen und Verständnis der Schüler ab, das gesamte Kapitel „Vernetzte Systeme“ durchzuarbeiten.

Novak J. / Bolhar-Nordenkampf A. / Schalk H.-C. / Stemmer S.
Das Buch Novak/Bolhar-Nordenkampf/Schalk/Stemmer fördert trotz allem sowohl quantitativ orientierten als auch qualitativ orientierten Systemdynamikunterricht.




14.) Fördert der Autor bei der Analyse der Modelle auch die Eigenständigkeit der Schüler?

Reichel H.-C./ Müller R./ Hanisch G./ Laub J., Lehrbuch der Mathematik 7
Reichel-Müller-Hanisch- Laub stellen nur das mathematische Werkzeug zur Darstellung einer Ursache und einer Wirkung zur Verfügung. Die Modelle selbst treten dabei völlig in den Hintergrund, sind eigentlich unnotwendig für das Ziel der Autoren. Die Autoren stellen nie die Aufgabe, ein Modell zu erklären, das Kapitel konzentriert sich hauptsächlich auf die Lösung von rekursiven Gleichungen.

Bürger H./ Fischer R./ Malle G./ Kronfellner M./ Mühlgassner T./ Schlöglhofer F., Mathematik. Oberstufe 3
Die Eigenständigkeit der Schüler bei der Analyse der Modelle wird sicherlich sehr gut gefördert, da fast alle Aufgaben den Charakter eines Berichts haben. Ziel der Autoren ist es sicherlich, die gebildeten Modelle interpretieren zu lernen.

Novak J. / Bolhar-Nordenkampf A. / Schalk H.-C. / Stemmer S.
Wir glauben, die Eigenständigkeit der Schüler wird nur bedingt gefördert, da zuwenig Beispiele vorkommen und keine bereits vorgefertigten Modelle zu erklären sind.




15.) Wird auf die Entwicklungsgeschichte der Systemdynamik eingegangen?

Reichel H.-C./ Müller R./ Hanisch G./ Laub J., Lehrbuch der Mathematik 7
Auf die Entwicklungsgeschichte der Systemdynamik gehen die Autoren nicht ein. Dies ist bei einem Schulbuch aber auch nicht notwendig.

Bürger H./ Fischer R./ Malle G./ Kronfellner M./ Mühlgassner T./ Schlöglhofer F., Mathematik. Oberstufe 3
Auf die Entwicklungsgeschichte der Systemdynamik wird in diesem Buch nicht eingegangen, was wahrscheinlich auch den Rahmen des Unterrichts sprengen würde.

Novak J. / Bolhar-Nordenkampf A. / Schalk H.-C. / Stemmer S.
Auf die Entwicklungsgeschichte der Systemdynamik wird auch in diesem Schulbuch nicht eingegangen, ist aber auch nicht erforderlich.




16.) Wird auf andere Literatur zum Thema hingewiesen?

Reichel H.-C./ Müller R./ Hanisch G./ Laub J., Lehrbuch der Mathematik 7
Es wird nicht auf weitere Literatur zum Thema Systemdynamik hingewiesen. Auch das muß in einem Schulbuch nicht unbedingt getan werden.

Bürger H./ Fischer R./ Malle G./ Kronfellner M./ Mühlgassner T./ Schlöglhofer F., Mathematik. Oberstufe 3
Am Ende des Kapitels wird jedoch auf einschlägige Fachliteratur für besonders Interessierte hingewiesen (Stichwort: Fachbereichsarbeit): OSSIMITZ, G.: Materialien zur Systemdynamik, Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1990 OSSIMITZ, G. - SCHLÖGLHOFER, F.: Untersuchung vernetzter Systeme, in: Bürger, H. u.a.: Lehrplan-Service Mathematik AHS-Oberstufe, Kommentar, Österreichischer Bundesverlag Wien - Verlag Jugend und Volk, Wien 1991 ROBERTS, N. u.a.: Introduction to Computer Simulation: The System Dynamics Approach, Addison Wesley Reading, Mass.: 1983

Novak J. / Bolhar-Nordenkampf A. / Schalk H.-C. / Stemmer S.
Schade ist, daß nicht auf weiterführende Literatur für Schüler mit größerem Interesse verwiesen wird.




4. Schlußbetrachtung

Alles in allem wird das Kapitel Systemdynamik im Schulbuch von Reichel / Müller / Hanisch / Laub unserer Meinung nach zu wenig differenziert betrachtet. Die Autoren beschränken sich auf eine Art der Darstellung von dynamischen Systemen, der Darstellung mittels Gleichungen. Auch die Motivation für den Schüler, den dieser Zweig der Mathematik für den Schüler anbieten kann, wird vom Autorenteam nicht gut genug herausgearbeitet.
Insgesamt betrachtet eignet sich das Kapitel „Vernetzte Systeme“ im Schulbuch von Bürger / Fischer / Malle / Kronfellner / Mühlgassner / Schlöglhofer sehr gut für den Unterricht. Alle Darstellungsformen werden übersichtlich und leicht nachvollziehbar behandelt. Abgesehen von der Einleitung und den Übungsbeispielen, die interessanter gestaltet werden könnten, ist dieses Teilgebiet der Mathematik für Schüler sicher ansprechend.
Das Kapitel „Untersuchung vernetzter Systeme“ im Schulbuch von Novak / Bolhar- Nordenkampf / Schalk / Stemmer wird von den Autoren viel zu schnell abgehandelt. Mit Ausnahme der Erklärung des Begriffs System, sind die Darstellungsformen der Systemdynamik viel zu verworren und unklar, sodaß man schnell die Lust an vernetzten Systemen verliert.
Im folgenden werden noch einmal tabellarisch die Schulbücher nach einigen Kriterien veranschaulicht:


KriterienReichel/Müller/
Hanisch/Laub		Bürger/Fischer/
Malle/Kronfellner/
Mühlgassner/Schlögehofer		Novak/Bolhar-Nordenkampf/
Schalk/Stemmer
Erklärung des Begriffes "System"+-+
Hinweis auf flächenübergreifenden Unterricht ---
Darstellungsformen
1. verbale Beschreibungo+o
2. Ursache- Wirkungs- Diagramm-+-
3. Flußdiagramme-+-
4. Gleichungeno+-
Computereinsatz-+o
Übungsbeispiele-+-
offene Mathematik-+o
Projektunterricht--o
quantitative und qualitativer Unterricht-+o
Eigenständigkeit der Schüler-+-
weiterführende Literatur-+-


Anmerkung:
Bedeutung der in der Tabelle verwendeten Symbole:
+sehr gut
omittelmäßig
-sehr schlecht/schlecht
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Version vom 6.9.1997Die aktuellste Version dieses Dokuments gibt es hier: http://www.uni-klu.ac.at/~gossimit/sdlv97/sdlb.htm