G. OSSIMITZ, Universität Klagenfurt

Qualitatives und Quantitatives Systemdynamisches Modellieren

1. Systemische Darstellungsformen

• verbale Beschreibungen
• Wirkungsdiagramme
• Flußdiagramme
• Gleichungsdarstellung

Verbale Beschreibungen⁽¹⁾ von Systemmodellen benutzen im wesentlichen die Umgangssprache. Das sie keine spezielle Notationsform verwenden, sind sie am unmittelbarsten verständlich, aber auch am wenigsten eindeutig. Sie eignen sich primär zu einer rein qualitativen Modellbeschreibung. Quantitative, formale Zusammenhänge lassen sich in der Umgangssprache nur schwer unmißverständlich zum Ausdruck bringen.

Wirkungsdiagramme sind im wesentlichen gerichtete Knoten-Kanten-Graphen. Die Knoten stellen wichtige Systemelemente dar, die Kanten geben Wirkungen von einem Element auf ein anderes an. Oft können die Kanten (zusätzlich zu ihrer Richtung) mit einem Vorzeichen "+" oder "-" versehen werden. Durch dieses Vorzeichen wird ein monoton steigender ("je mehr von der Ursache, desto mehr von der Wirkung", Vorzeichen "+") bzw. ein monoton fallender Zusammenhang ("je mehr von der Ursache, desto weniger von der Wirkung", Vorzeichen "-") zum Ausdruck gebracht. Geschlossene Rückkopplungskreise in Wirkungsdiagrammen, bei denen alle beteiligten Kanten Vorzeichen tragen, sind von ihrem Typus her eskalierend oder dämpfend. Formal erkennt man einen eskalierenden Rückoppelungskreis daran, daß die Anzahl der beteiligten Kanten mit Vorzeichen "-" eine gerade Zahl ist; Ist die Anzahl der beteiligten Kanten mit negativem Vorzeichen ungerade, so ist der Rückkoppelungskreis vom Typus her stabilisierend.

Bei einem Wirkungsdiagramm ist es noch nicht notwendig, daß die einzelnen Systemelemente zahlenmäßig festlegbare Größen sind. Beispielsweise könnte man Abb. 1 erstellen, ohne daß die beiden Größen "Autoverkehr" und "Benützung öffentlicher Verkehrsmittel als Zahlen aufgefaßt werden. Die dargestellten Zusammenhänge "Je mehr Autoverkehr, desto weniger werden öffentliche Verkehrsmittel benützt" und "Je mehr öffentliche Verkehrsmittel benützt werden, desto weniger Autoverkehr" lassen sich auch noch auf einer qualitativen Ebene formulieren. Dennoch steckt in der Formulierung "je mehr Autoverkehr, desto weniger werden öffentliche Verkehrsmittel benützt" implizit zumindest eine ordinale Skalierung der beiden Größen "Autoverkehr" und "Benützung öffentlicher Verkehrsmittel".

Flußdiagramme sind Wirkungsdiagrammen ähnlich. Zusätzlich werden aber verschiedene Typen von Systemelementen und bisweilen auch verschiedene Typen von Beziehungen zwischen den Systemelementen unterschieden.

Bei den Systemelementen unterscheidet man insbesondere zwischen Bestandsgrößen (Zustandsgrößen, englisch "level" oder "stock") und Flußgrößen (Veränderungsgrößen, englisch "rates" oder "flows") sowie zusätzlichen Hilfsgrößen (englisch "auxiliary"). Die Unterscheidung von Bestands- und Flußgrößen hat einen sachlogischen Hintergrund und einen simulationstechnischen Zweck:

Der sachlogische Hintergrund besteht darin, daß bei zeitlich ablaufenden Prozessen vielfach zwischen Größen, die zu einem bestimmten Zeitpunkt einen Wert haben (Bestandsgrößen) und solchen Größen, die erst in einem Zeitintervall einen bestimmten Wert annehmen (Flußgrößen) unterschieden werden kann. Bestände ändern sich im Laufe der Zeit nur durch entsprechende Zu- bzw. Abflüsse. So ist etwa die Bevölkerung einer Stadt eine Bestandsgröße: zu jedem Zeitpunkt gibt es eine bestimmte Anzahl Menschen. Veränderungen der Bevölkerungszahl ergeben sich lediglich durch folgende Flußgrößen: Geburten und Sterbefälle sowie durch Zu- und Abwanderungen. Diese Flußgrößen⁽²⁾ haben nur in einem Zeitintervall eine bestimmte Größe. So kann etwa die Zahl der Geburten in einem Jahr oder die Zahl der abgewanderten Personen in einem bestimmte Monat betrachtet werden. Besonders schön erkennt man den Unterschied zwischen Bestands- und Flußgrößen bei Jahresabschlüssen von Unternehmen: in der Bilanz, die zu einem Stichtag erstellt wird, stehen lauter Bestandsgrößen; in der Gewinn- und Verlustaufstellung, die sich auf ein Geschäftsjahr bezieht, lauter Bewegungsgrößen (die gleich sind den entsprechenden Flußgrößen, wenn man als Zeiteinheit 1 Jahr festsetzt).

Auch bei kontinuierlichen Prozessen kann man zwischen Bestands- und Flußgrößen unterscheiden: so ist etwa die Menge Wasser in einer Badewanne eine Bestandsgröße, die (pro Zeiteinheit) durch den Wasserhahn zufließende oder durch den Abfluß abfließende Wassermenge sind hingegen Flußgrößen. Mathematisch wäre es in diesem Fall kein Problem, auch eine momentane Änderungsrate des Wasserstandes zu betrachten (die bei einem Zufluß z.B. angibt, wie weit der Wasserhahn aufgedreht ist). Es gibt aber einen simulationstechnischen Grund, der auch bei kontinuierlichen Prozessen eine Unterscheidung zwischen Bestands- und Flußgrößen nahelegt: zur numerischen Simulation ist man darauf angewiesen, einen kontinuierlichen Prozeß durch einen diskreten Prozeß mit endlicher Schrittweite anzunähern. Damit ist man hat man explizit oder implizit gezwungen, zwischen Größen, die zu bestimmten Zeitpunkten und solchen Größen, die für die einzelnen Zeitintervalle (Zeitschritte) definiert sind, zu unterscheiden.

Differenzengleichungen bzw. Systeme von Differenzengleichungen enthalten durchwegs quantifizierte Größen und sind in der Systemdynamik i.a. bereits direkt auf eine numerische Simulation hin ausgerichtet. Insofern kann man diese Darstellungsform als die am stärksten quantitativ orientierte bezeichnen.

Zusammenfassend kann man die vier Darstellungsformen in qualitative und quantitative Darstellungen gruppieren:

Verbale Beschreibungen und Wirkungsdiagramme sind typische qualitative Darstellungsformen, Flußdiagramme und Gleichungssysteme hingegen typisch quantitative Darstellungsformen. Mit zunehmenden Grad an Quantifizierung werden die Darstellungsformen immer formaler, die syntaktischen Darstellungsregeln immer strenger: Während man bei verbalen Modellen noch keinerlei fachsprachenspezifische Syntax zu beachten ist, sind bei der Darstellung in Gleichungsform bereits strenge Notationsregeln der mathematischen Fachsprache zu beachten.

Wird durch die Wahl einer bestimmten Darstellungsform bereits (vielleicht ganz unbewußt) ein eher qualitativer oder eher quantitativer Modellierstil festgelegt? Meiner Meinung nach ja. Jede Darstellungsform hängt mit bestimmten Denk- und Handlungsmustern zusammen.

Darstellungsform	Repräsentation	Handlungen	Denkvorstellungen
Verbale Beschreibung	Text	Text erstellen, ändern, lesen, interpretieren	umgangssprachliche Begriffsmuster
Wirkungsdiagramm	Graph, enthält qualitative Systemelemente	eskalierende/stabilisierende Wirkungen ermitteln, Rückkoppelungskreise ermitteln	Identifikation wichtiger Systemelemente, qualitative Wirkungspfeile (+/-), Erzeugen eines Netzwerks
Flußdiagramm	Graph, enthält quantitative Systemelemente	Bestände und Flüsse unterscheiden, quantitative Wirkzusammenhänge ermitteln	graphische Darstellung von Beständen und Flüssen, Wirkungspfeile
Differenzen-gleichungssysteme	Gleichungen, Rechenan-weisungen	Algebraische Umformungen, numerische Simulation	Rechenanweisungen für Computer,mathematische Modelle, Rechengesetze

2. Qualitatives und quantitatives Modellieren

2.1 Wirkungsdiagramm und Flußdiagramm stehen für zwei verschiedene Modellierphilosophien

2.2 Qualitative und quantitative Größen

Qualitative Größen sind hingegen sind hingegen Größen bzw. Begriffe unserer Umgangssprache, für die (noch) kein zahlenmäßiger Wert oder wenigstens eine Meßvorschrift festgelegt ist. So kann man die Größen "Autoverkehr" aus Abb. 1 als qualitative Größe auffassen, wenn man sich unter "Autoverkehr" einfach auf der Straße fahrende PKW und nicht eine bestimmte Zahl vorstellt. Um eine Größe handelt es sich deswegen, weil wir (auch rein qualitativ) zwischen mehr und weniger Autoverkehr unterscheiden können. Qualitativ ist diese Größe deswegen, weil wir hier mit "Autoverkehr" noch keine Zahl assoziieren, sondern im fahrende (oder auch im Verkehr stehende) Autos. Dementsprechend führen wir mit qualitativen Größen auch keine arithmetischen Operationen durch - außer rein ordinalen Vergleichen (i.S. von "mehr" bzw. "weniger"). So wird niemand auf die Idee kommen, den Autoverkehr auf einer Straße in eine Fahrtrichtung mit dem Autoverkehr in der Gegenrichtung zu addieren - oder gar zu subtrahieren (Gegenrichtung = umgekehrtes Vorzeichen!). Derartige Operationen kann man lediglich mit den quantitativen Größen "Anzahl der in einem bestimmten Zeitintervall vorbeifahrenden PKW" sinnvoll durchführen. Qualitative Größen lassen sich i.a. auf verschiedene Arten quantifizieren. So könnte man "Autoverkehr" etwa auf folgende Arten quantifizieren:

• Die Anzahl der in einer bestimmten Region zugelassenen PKW
• Die Anzahl der in einer bestimmten Region zu einem bestimmten Zeitpunkt auf öffentlichen Straßen befindlichen PKW.
• Die Anzahl der in einem bestimmten Zeitintervall an einer bestimmten Straßenstelle passierenden PKW.
• Die in einer bestimmten Region in einem bestimmten Zeitintervall von allen PKW zurückgelegte Gesamtfahrstrecke.
• Die in einer bestimmten Region in einem bestimmten Zeitintervall von allen PKW auf öffentlichen Verkehrsflächen verbrachte Gesamtfahrdauer.

Die ersten beiden Größen sind Bestandsgrößen (Erfassung zu einem bestimmten Zeitpunkt), die letzten drei Bewegungsgrößen (Erfassung in einem bestimmten Zeitintervall). Ob eine Größe eine Bestandsgröße oder ein Bewegungsgröße (bzw. Flußgröße) ist, hängt also entscheidend von der Art, wie die betreffende Größe gemessen wird, ab.

In der Systemdynamik lassen sich qualitative und quantitative Größen anhand der Bezeichnungen allein nicht auseinanderhalten: ist mit "Bevölkerung" die Bevölkerungszahl oder die Menschen einer Region gemeint? Meint man in einem Lagermodell mit "Lieferung" den Antransport von Ware oder die Anzahl der gelieferten Stücke? Diese Schwierigkeit besteht innerhalb der Mathematik nicht, da hier ausschließlich mit quantitativen Größen operiert wird, die überdies i.a. noch durch entsprechende Bezeichnungen (x, y, a, b, c etc.) als Variable (quantitative Größen) erkennbar sind. In der Physik verwendet man etwa für die qualitative Größe "Masse" die quantitative Bezeichnung m und vermeidet auf diese Weise ebenfalls eine Begriffsverwirrung. Ähnliches gilt vielfach auch für die Anwendung quantitativer Konzepte in anderen Wissenschaften.

In der Frühzeit der Systemdynamik bestand die Schwierigkeit, quantitative Modellgrößen als solche zu erkennen, auch noch nicht, weil aufgrund entsprechender Software-Einschränkungen die Namen von quantitativen Modellvariablen nur wenige Zeichen lang sein durften. Damit war klar, daß es sich bei Modellgrößen wie HAS, FUX, WHAS etc. (siehe z.B. BOSSEL 1985) nur um quantitative Größen handeln konnte. Erst durch die Möglichkeit moderner Simulationssoftware, den Modellvariablen auch sehr lange, sinntragende Namen geben zu können, wird das Problem "Wie unterscheide ich qualitative von quantitativen Größen" virulent. Werden lange Bezeichnungen in der Gleichungsdarstellung verwendet, so sind die verwendeten Größen aus dem Kontext heraus sofort als quantitative Größen identifizierbar. Schwieriger ist die Sache bei der Darstellung in Wirkungsdiagrammen bzw. Flußdiagrammen.

In Flußdiagrammen wird zwischen Bestands- und Flußgrößen unterschieden. Diese Unterscheidung setzt eine entsprechende quantitative Meßvorschrift für die betreffenden Größen voraus, mittels der dann entschieden werden kann, ob es sich bei der betreffenden Größe um eine Bestands- oder Flußgröße oder eine Hilfsgröße handelt. Auch die Wirkungspfeile werden in Flußdiagrammen i.a. im Sinne von arithmetischen bzw. quantitativ-funktionalen Verknüpfungen gesetzt. Damit ist klar, daß die Modellgrößen in Flußdiagrammen quantitative Größen sein müssen. Durch die Modellierung in einem Flußdiagramm wird implizit mit festgelegt, daß die Modellgrößen als quantitative Größen zu verstehen sind - auch wenn man sich über die konkrete Art der meßtechnischen Festlegung noch gar nicht den Kopf zerbrochen hat. Zur graphischen Modellierung qualitativer Größen kommt das Flußdiagramm nicht in Frage, sondern höchstens das Wirkungsdiagramm.

Am schwierigsten ist die Unterscheidung qualitativ-quantitativ im Zusammenhang mit Wirkungsdiagrammen. Grundsätzlich können in einem Wirkungsdiagramm qualitative und quantitative Größen gleichermaßen dargestellt werden. Insofern könnte man sich mit der Feststellung behelfen, daß es bei Wirkungsdiagrammen gar nicht so wichtig ist, ob die einzelnen Größen im Diagramm als quantitative oder als qualitative Größen aufzufassen sind.

Diese Überlegungen machen einen deutlichen Unterschied zwischen Wirkungsdiagramm und Flußdiagramm klar: Eine Modellierung in einem Flußdiagramm ist eine Modellierung mit quantitativen Größen, während ein Wirkungsdiagramm durchaus rein qualitativ sein kann - aber nicht qualitativ bleiben muß. Es ist durchaus möglich, ausgehend von einem qualitativen Wirkungsdiagramm ein Flußdiagramm zu erstellen und auf diese Weise den Übergang von einem qualitativen zu einem quantitativen Modell zu vollziehen. Die Erfahrung beim praktischen Erstellen von Systemmodellen hat allerdings gezeigt, daß dieser Weg von einer verbalen Beschreibung über ein Wirkungsdiagramm zu einem Flußdiagramm eher ein Umweg ist, der nur dann beschritten wird, wenn man sich ausdrücklich darauf festlegt, zuerst ein Wirkungsdiagramm zu zeichnen. Beim ungezwungenen quantitativen Modellieren haben wir stets sofort mit einem Flußdiagramm begonnen, ohne daß zunächst ein Wirkungsdiagramm erstellt wurde. Dies mag auch daran liegen, daß man beim quantitativen Modellieren automatisch und unbewußt in quantitativen Größen denkt, die man sofort als Bestands- oder Flußgrößen spezifizieren kann. Ein weiterer Grund liegt wohl auch darin, daß die modellierten Situationen bereits derart einfach und vorstrukturiert waren, daß über die richtige Zuordnung zu Bestands- bzw. Flußgrößen kaum Unklarheiten möglich waren. In offeneren, zunächst noch nicht so leicht durchschaubaren Situationen mag es durchaus angemessen sein, zunächst ein Wirkungsdiagramm zu zeichnen, das die wesentlichsten Systemelemente enthält, ohne daß man dabei auf Fragen der Quantifizierung bereits besonders einzugehen braucht. Beim Übergang zur einer Darstellung in einem Flußdiagramm ist es hingegen nötig, für die einzelnen Modellgrößen zumindest prinzipiell operationale Definitionen (Meßvorschriften) festgelegt zu haben.

Zusammenfassend läßt sich sagen: qualitatives Modellieren hört bei Wirkungsdiagrammen auf, quantitatives Modellieren fängt mit Flußdiagrammen erst richtig an.

2.3 Soll in der Ausbildung zwischen qualitativem und quantitativem Modellieren unterschieden werden?

• Die beiden Modellierstile unterscheiden sich im Hinblick auf die Ziele, die verwendeten Darstellungsmittel, die Rolle der Mathematik, hinsichtlich der Nutzung des Computers etc. deutlich voneinander.
• Die Kenntnis beider Varianten ermöglicht situationsadäquates Modellieren: man kann sich entscheiden, ob man ein qualitatives oder ein quantitatives Modell erstellen will.
• Für quantitatives Modellieren ist nötig, die wesentlichen Modellgrößen und Modellbeziehungen zu quantifizieren. Auf der quantitativen Ebene erhalten die Begriffe neue Sinn- und Bedeutungszusammenhänge, auch die damit möglichen Handlungen sind andere als für qualitative Begriffe.
• Die Fähigkeit zu qualitativem Modellieren ist zwar im Alltag von überragender Bedeutung, innerhalb der Mathematik(ausbildung) jedoch wenig entwickelt. Durch die Unterscheidung zwischen qualitativer und quantitativer Modellierung erhält die qualitative Modellierung einen expliziten Stellenwert.

3 Qualitatives Modellieren mit Simulationssoftware?

Für die Erstellung eines Flußdiagramms braucht man zunächst nur zwischen Bestandsgrößen, Flußgrößen und Hilfsgrößen zu differenzieren. Dazu ist es nicht unbedingt nötig, für jede Größe eine exakte Meßvorschrift zu haben. Im angesprochenen Beispiel versucht PETERSON, die zentralen Bestandsgrößen (es geht um FREUD`s Es) durch plausibles Argumentieren aus einem Lehrbuch der Psychoanalyse herauszuschälen. Anschließend ermittelt er die zugehörigen Flußgrößen, die die einzelnen Bestände wachsen oder schrumpfen lassen. Schließlich werden die erforderlichen Hilfsgrößen spezifiziert sowie die strukturellen Verbindungen zwischen den einzelnen Größen definiert. Erst ganz am Ende seines Modellierungsprozesses meint PETERSON: "In choosing numeric values to complete the outfitting of the diagrams, I must enter into the realms of "quantifying the non-quantifiable". What's important is not the specific numbers I choose, but whether the numerical values are internally consistent: i.e. whether they make sense relative to one another." PETERSON wählt für die Bestandsgrößen seines Modells (Psychische Energie, Spannung und körperliche Bedürfnisse) eine willkürliche, aber "rigorously defined" Skala mit 0 als absolutem Minimalwert und 1 als absoluten Maximalwert.

PETERSON hat letztendlich ein quantitatives Modell der Struktur des FREUD'schen Es erstellt - und alle Schritte (Ermittlung wesentlicher Bestandsgrößen, Erstellung eines Flußdiagramms) waren bereits implizit daraufhin ausgerichtet. Er hat lediglich möglichst lange im Modellbildungsprozeß versucht, den Anschein einer qualitativen Modellierung zu erwecken. Man könnte in diesem Beispiel auch eine Art "qualitative Quantifizierung" sehen, bei der zwar im Grunde quantitative Größen eingeführt werden, mit diesen Größen aber qualitativ argumentiert wird. Genaue Zahlenwerte spielen dabei keine Rolle, Skalen werden gar nicht oder - wenn unbedingt nötig - willkürlich festgelegt. Typisch für den Stil qualitativer Quantifizierung ist, daß letztendlich nur qualitative Aussagen über das Modellverhalten gemacht werden. Häufig werden dazu Funktionsgraphen oder andere graphische Darstellungen benützt, bei denen Achskalierungen keine besondere Rolle spielen und daher oft fehlen⁽³⁾

.

Häufig wird der Stil des qualitativen Quantifizierens dann gewählt, wenn man einerseits in einem quantitativen Modell sich bewegen möchte (aus welchem Grund auch immer) und andererseits der zu modellierende Sachverhalt zahlenmäßige Zuordnungen nicht so ohne weiteres nahelegt und insofern eine qualitative Modellierung angebracht ist. Insgesamt hat das qualitative Quantifizieren eine Reihe von Vorteilen, aber auch Nachteilen bzw. potentiellen Gefahren:

Vorteile: Das Potential quantitativer Konzepte (Darstellungsformen, Simulation, ...) kann genutzt werden; damit sind weitergehende Aussagen als bei rein qualitativen Modellen möglich. Darüber hinaus ist qualitative Quantifizierung ein Kompromiß in Situationen, in denen eine qualitative Modellierung angebracht wäre, aber aus Rücksichtnahme auf mathematische Traditionen o.ä. Rahmenbedingungen eine "im Prinzip" quantitative Modellierung erfolgen soll (muß).

Nachteile/Gefahren: Der Transfer von den qualitativen zu den quantitativen Begriffen ist meist problematisch. Möglicherweise wird dieser Transfer gar nicht explizit durchgeführt. Dadurch besteht die Gefahr, daß man den im Modell steckenden quantitativen Grundcharakter übersieht und daß die quantitativen Begriffsbildungen mit den qualitativen Vorbildern verwechselt bzw. gleichgesetzt werden.

Insgesamt bleibt die Methode des "qualitativen Quantifizierens" ein fragwürdiges Unterfangen, das seinen Sinn weitgehend verliert, wenn man qualitatives Modellieren explizit zuläßt.

4 Thesen zur Didaktik der Systemdynamik

• Man soll zwischen qualitativen und quantitativen Modellieren unterscheiden. Dadurch gewinnt man das qualitative Modellieren als zusätzliche Modellierform. Qualitatives Modellieren (etwa in Form von Wirkungsdiagrammanalysen) sollte als legitime mathematische Modelliertätigkeit anerkannt und praktiziert werden.
• Für qualitatives und quantiatives Modellieren sind verschiedene Darstellungsformen adäquat: das Wirkungsdiagramm für qualitative und das Flußdiagramm für quantitativen Modelle.
• Beim quantitativen Modellieren ist es nicht immer notwendig, (aber fallweise nützlich) vor dem Erstellen eines Flußdiagramms auch ein Wirkungsdiagramm zu erstellen.
• Die Methode des qualitativen Quantifizierens sollte - wenn überhaupt - nur dann eingesetzt werden, wenn diese Vorgangsweise den Lernenden auch plausibel gemacht werden kann. Dazu scheint mir sowohl eine Vertrautheit mit qualitativem wie auch mit quantitativem Modellieren günstig zu sein. Ansonsten sollte man sich möglichst für ein "sauberes" qualitatives oder bewußt quantitatives Modellieren entscheiden. Dadurch wird der schwierige Transfer qualitative Betrachtung quantitative Betrachtung entschärft, indem man sich vorwiegend entweder auf der qualitativen oder auf der quantitativen Seite aufhält.
• Bei quantitativen Modellen sollte klar sein, daß es sich um solche handelt und daß alle Größen und Beziehungen in einem quantitativen Modell auch durch entsprechende Meß- bzw. Rechenvorschriften spezifiziert sein müssen.

5. Literatur:

BOSSEL, HARTMUT (1985): Umweltdynamik. 30 Programme für kybernetische Umwelterfahrungen auf jedem BASIC-Rechner. München: Te-Wi Verlag.

BRUCKMANN, GERHART (1987): Zur Didaktik der Systemdynamik. In: Dörfler, Willibald - Fischer, Roland - Peschek, Werner (Hg.): Wirtschaftsmathematik in Beruf und Ausbildung. Schriftenreihe Didaktik der Mathematik, Band 17. Wien: Hölder-Pichler-Tempsky und Stuttgart: B.G. Teubner Verlag.

FISCHER, ROLAND - MALLE, GÜNTHER (1985); Mensch und Mathematik. Eine Einführung in didaktisches Denken und Handeln. Mannheim, Wien, Zürich: B.I. Wissenschaftsverlag.

METZLER, WOLFGANG (1987): Dynamische Systeme in der Ökologie. Stuttgart: B. G. Teubner Verlag.

RICHMOND, BARRY - PETERSON, STEVE - VESCUSO, PETER (1987): An Academic User Guide to STELLA Software. Lyme, NH: High Performance Systems.

Anmerkungen:

1. METZLER (1987, S 7) nennt verbale Beschreibungen "Prosamodell".

2. Genauer muß man zwischen Bewegungsrößen und Flußgrößen unterscheiden: Bewegungsgrößen sind absolute Änderungen eines Bestandes in einem bestimmten Zeitintervall; Flußgrößen hingegen Änderungen pro Zeiteinheit, also mittlere Änderungsraten.

3. Ein beeindruckendes Beispiel für qualitative Quantifizierung ist die VISMATH-Reihe von ABRAHAM-SHAW(1984), die eine auf visuellen Darstellungen aufgebaute Einführung in die Theorie dynamischer Systeme bietet. - Auch in der Wirtschaftstheorie ist das qualitative Argumentieren mit quantitativen Funktionen allgemein üblich.